La suite de Syracuse part d'un entier et applique si est pair, sinon

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Suites remarquables

Énoncé

La suite de Syracuse part d'un entier $u_{0} \geq 1$ et applique $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2}$ si $u_{n}$ est pair, $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 1$ sinon. Le temps de vol est le rang du premier terme égal à $1$ .

Calculer le temps de vol pour $u_{0} = 6$ , puis pour $u_{0} = 7$ .
Écrire une fonction Python temps_de_vol(u0).
Chercher, pour $u_{0}$ de $1$ à $30$ , celui dont le temps de vol est le plus long.

(Que la suite atteigne toujours $1$ est une conjecture ouverte depuis 1937.)

Corrigé

1. Pour $u_{0} = 6$ : $6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1$ — le premier terme égal à $1$ est de rang $8$ , le temps de vol vaut $8$ . Pour $u_{0} = 7$ : $7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1$ — temps de vol $16$ . 2.


def temps_de_vol(u0):
    u, n = u0, 0
    while u != 1:
        u = u // 2 if u % 2 == 0 else 3 * u + 1
        n = n + 1
    return n

3. En balayant $u_{0}$ de $1$ à $30$ , le maximum est atteint pour $u_{0} = 27$ , dont le temps de vol vaut $111$ (la suite y monte jusqu'à $9232$ avant de redescendre). Viennent ensuite $u_{0} = 25$ avec $23$ , puis $18$ et $19$ avec $20$ . Ce que l'exemple enseigne : le temps de vol ne croît pas avec $u_{0}$ . La conjecture de Syracuse — toute suite atteint $1$ — est vérifiée par ordinateur bien au-delà de $1 0^{20}$ , mais reste non démontrée.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.