mathématiques (première) · Chapitre 2 · Exercice supplémentaire

La suite de Syracuse part d'un entier et applique si est pair, sinon

Suites numériques, modèles discrets · Suites remarquables · niveau 3 (difficile)

Énoncé

La suite de Syracuse part d'un entier $u_{0} \geq 1$ et applique $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2}$ si $u_{n}$ est pair, $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 1$ sinon. Le temps de vol est le rang du premier terme égal à $1$ .

Calculer le temps de vol pour $u_{0} = 6$ , puis pour $u_{0} = 7$ .
Écrire une fonction Python temps_de_vol(u0).
Chercher, pour $u_{0}$ de $1$ à $30$ , celui dont le temps de vol est le plus long.

(Que la suite atteigne toujours $1$ est une conjecture ouverte depuis 1937.)

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

1. Calculer le temps de vol pour $u_{0} = 6$ , puis pour $u_{0} = 7$ .

Élève

Je crois que j'ai compris la règle, mais je ne sais pas trop par où commencer pour le temps de vol. Il faut compter quoi exactement ?

Relis la définition dans l'énoncé : le temps de vol est le rang du premier terme égal à $1$ . Concrètement, si tu écris les termes à partir de $u_{0}$ , quel terme dois-tu repérer, et que comptes-tu entre le départ et lui ?

Élève

D'accord, je pars de $u_{0} = 6$ . Comme 6 est pair, je fais $6/2 = 3$ . Ensuite 3 est impair, donc je fais $3 \times 3 + 1 = 10$ . Je continue comme ça jusqu'à tomber sur 1 ?

Oui, c'est la bonne démarche : tu appliques la règle terme après terme. Pour ne pas te perdre dans le décompte, note les termes dans l'ordre avec leur rang à côté. Quel rang attribues-tu à $u_{0}$ , et quel rang aura le premier terme égal à $1$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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