Le flocon de Koch. On part d'un triangle équilatéral de côté 1. À…

Le flocon de Koch. On part d'un triangle équilatéral de côté $1$. À chaque étape, chaque segment est remplacé par quatre segments trois fois plus courts (on remplace le tiers central par deux côtés d'un triangle équilatéral).

• Montrer que le nombre de côtés est $n_k=3\times 4^k$ et que leur longueur est ${\ell }_k={\left(\frac{1}{3}\right)}^k$.
• En déduire le périmètre $p_k$ et montrer qu'il tend vers $+\infty$.
• L'aire, elle, reste bornée : le flocon a un périmètre infini pour une aire finie.