Le flocon de Koch. On part d'un triangle équilatéral de côté 1. À…

1. À chaque étape, chaque côté est remplacé par quatre côtés : le nombre de côtés est multiplié par $4$. Partant de $n_0=3$, la suite $(n_k)$ est géométrique de raison $4$ :

$$n_k=3\times 4^k.$$

De même, chaque nouveau côté mesure le tiers du précédent : $({\ell }_k)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme ${\ell }_0=1$, donc ${\ell }_k={\left(\frac{1}{3}\right)}^k$. 2. Le périmètre est le produit du nombre de côtés par leur longueur :

$$p_k=n_k\times {\ell }_k=3\times 4^k\times \frac{1}{3^k}=3{\left(\frac{4}{3}\right)}^k.$$

Comme $\frac{4}{3}>1$, la suite géométrique $\left({\left(\frac{4}{3}\right)}^k\right)$ tend vers $+\infty$ : le périmètre aussi. 3. L'aire, elle, ne fait qu'augmenter d'une quantité de plus en plus petite : à l'étape $k+1$ on ajoute $n_k$ petits triangles d'aire $\frac{\sqrt{3}}{4}{\ell }_{k+1}^2$, soit un supplément proportionnel à $4^k\times \frac{1}{9^{k+1}}$, terme d'une suite géométrique de raison $\frac{4}{9}<1$ : la somme de ces suppléments reste donc bornée.

Et l'on peut la calculer. Notons $A$ l'aire du triangle initial. À l'étape $k+1$ on ajoute $n_k=3\times 4^k$ triangles, chacun d'aire $\frac{A}{9^{k+1}}$ (chaque subdivision divise la longueur par $3$, donc l'aire par $9$). L'aire ajoutée en tout vaut

$$\sum _{k\ge 0}3\times 4^k\times \frac{A}{9^{k+1}}=\frac{A}{3}\sum _{k\ge 0}{\left(\frac{4}{9}\right)}^k=\frac{A}{3}\times \frac{1}{1-\frac{4}{9}}=\frac{A}{3}\times \frac{9}{5}=\frac{3A}{5}.$$

L'aire limite vaut donc $A+\frac{3A}{5}=\frac{8A}{5}$ : le flocon a exactement $\frac{8}{5}$ de l'aire du triangle de départ. Le flocon a donc un périmètre infini pour une aire finie — première rencontre avec les objets fractals.