Le raisonnement par récurrence, au programme de terminale, démontre…

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Démonstrations par récurrence (programme de terminale)

Énoncé

Le raisonnement par récurrence, au programme de terminale, démontre une propriété $P (n)$ pour tout $n \geq n_{0}$ en établissant l'initialisation ( $P (n_{0})$ vraie) et l'hérédité (si $P (n)$ est vraie, alors $P (n + 1)$ l'est). Démontrer ainsi que pour tout entier $n \geq 1$ :

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} .$

Comparer avec la démonstration « en écrivant la somme dans les deux sens » du cours : laquelle explique pourquoi le résultat est vrai ?

Corrigé

Notons $P (n)$ : « $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ». Initialisation. Pour $n = 1$ : $1 = \frac{1 \times 2}{2}$ . $P (1)$ est vraie. Hérédité. Supposons $P (n)$ vraie pour un entier $n \geq 1$ . En ajoutant $n + 1$ aux deux membres :

$1 + 2 + \dots + n + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 )}{2} + (n + 1) = (n + 1) \frac{n + 2}{2} = \frac{( n + 1 ) ( ( n + 1 ) + 1 )}{2},$

c'est-à-dire $P (n + 1)$ . Par récurrence, la formule vaut pour tout entier $n \geq 1$ . Comparaison. La récurrence vérifie le résultat sans jamais l'expliquer : il faut connaître la formule à l'avance pour la démontrer ainsi. La démonstration du cours, qui écrit la somme dans les deux sens et apparie les termes $1 + n$ , $2 + (n - 1)$ , … — tous égaux à $n + 1$ — montre pourquoi le résultat est $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ , et permet de le trouver.

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