n° 207

Suites arithmético-géométriques. Soit $a\ne 1$ et $b$ deux réels, et $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=a{u}_n+b$.

• Montrer que l'équation $\ell =a\ell +b$ a une unique solution $\ell =\frac{b}{1-a}$.
• Montrer que la suite $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$.
• En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, $u_0$, $a$ et $b$.
• Retrouver, comme cas particuliers, la formule du problème du lac ($a=0,6$, $b=30$) et celle de la rente ($a=1,04$, $b=1000$).