n° 207

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Vers la terminale

Énoncé

Suites arithmético-géométriques. Soit $a \neq = 1$ et $b$ deux réels, et $(u_{n})$ définie par $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ .

Montrer que l'équation $ℓ = a ℓ + b$ a une unique solution $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ .
Montrer que la suite $v_{n} = u_{n} - ℓ$ est géométrique de raison $a$ .
En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ , $u_{0}$ , $a$ et $b$ .
Retrouver, comme cas particuliers, la formule du problème du lac ( $a = 0, 6$ , $b = 30$ ) et celle de la rente ( $a = 1, 04$ , $b = 1000$ ).

Corrigé

1. L'équation $ℓ = a ℓ + b$ s'écrit $ℓ (1 - a) = b$ ; comme $a \neq = 1$ , elle a l'unique solution $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ . 2. Pour tout entier $n$ , en utilisant $b = ℓ (1 - a) = ℓ - a ℓ$ :

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - ℓ = a u_{n} + b - ℓ = a u_{n} - a ℓ = a (u_{n} - ℓ) = a v_{n} .$

La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $a$ et de premier terme $v_{0} = u_{0} - ℓ$ . 3. D'où $v_{n} = (u_{0} - ℓ) a^{n}$ et

$u_{n} = (u_{0} - \frac{b}{1 - a}) a^{n} + \frac{b}{1 - a} .$

4. Le lac : $a = 0, 6$ , $b = 30$ , donc $ℓ = \frac{30}{0 , 4} = 75$ et, avec $u_{0} = 500$ ,

$a_{n} = 425 \times 0, 6^{n} + 75.$

La rente : $a = 1, 04$ , $b = 1000$ , donc $ℓ = \frac{1000}{1 - 1 , 04} = - 25000$ et, avec $c_{0} = 1000$ ,

$c_{n} = 26000 \times 1, 0 4^{n} - 25 000.$

On retrouve exactement les deux formules établies plus haut. Ce que la méthode automatise : l'auxiliaire $v_{n} = u_{n} - ℓ$ n'a plus à être « donnée » par l'énoncé. Le point fixe $ℓ$ est la seule chose à calculer, et l'on retombe toujours sur une suite géométrique.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.