On empile des cubes pour former des «escaliers»

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Modes de génération et relations de récurrence

Énoncé

On empile des cubes pour former des « escaliers » : l'escalier de rang $n$ compte $n$ marches, la $k$ -ième marche étant faite de $k$ cubes. On note $c_{n}$ le nombre de cubes de l'escalier de rang $n$ ( $n \geq 1$ ).

Calculer $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ , $c_{4}$ , puis établir une relation de récurrence entre $c_{n + 1}$ et $c_{n}$ .
La suite $(c_{n})$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier.
Donner une formule explicite de $c_{n}$ et calculer $c_{100}$ .

Corrigé

1. $c_{1} = 1$ , $c_{2} = 1 + 2 = 3$ , $c_{3} = 6$ , $c_{4} = 10$ . Passer du rang $n$ au rang $n + 1$ revient à ajouter une marche de $n + 1$ cubes :

$c_{n + 1} = c_{n} + (n + 1) .$

2. Ni l'une ni l'autre. Les différences $c_{n + 1} - c_{n} = n + 1$ valent $2$ , $3$ , $4$ … : elles ne sont pas constantes, la suite n'est pas arithmétique. Les quotients $\frac{c _{2}}{c _{1}} = 3$ et $\frac{c _{3}}{c _{2}} = 2$ diffèrent : elle n'est pas géométrique non plus.

3. En déroulant la récurrence, $c_{n} = 1 + 2 + \dots + n$ : c'est la somme des premiers entiers, donc

$c_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}, d’o u ˋ c_{100} = \frac{100 \times 101}{2} = 5 050.$

Contrôle : la formule redonne $c_{4} = \frac{4 \times 5}{2} = 10$ , valeur obtenue par le dénombrement direct. ✓

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