mathématiques (première) · Chapitre 2 · Exercice de TD

On empile des cubes pour former des «escaliers»

Suites numériques, modèles discrets · Modes de génération et relations de récurrence · niveau 2

Énoncé

On empile des cubes pour former des « escaliers » : l'escalier de rang $n$ compte $n$ marches, la $k$ -ième marche étant faite de $k$ cubes. On note $c_{n}$ le nombre de cubes de l'escalier de rang $n$ ( $n \geq 1$ ).

Calculer $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ , $c_{4}$ , puis établir une relation de récurrence entre $c_{n + 1}$ et $c_{n}$ .
La suite $(c_{n})$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier.
Donner une formule explicite de $c_{n}$ et calculer $c_{100}$ .

Corrigé de la question 1

1. $c_{1} = 1$ , $c_{2} = 1 + 2 = 3$ , $c_{3} = 6$ , $c_{4} = 10$ . Passer du rang $n$ au rang $n + 1$ revient à ajouter une marche de $n + 1$ cubes :

$c_{n + 1} = c_{n} + (n + 1) .$

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. La suite $(c_{n})$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier.

Élève

Pour la question 2, je ne sais pas trop par où commencer : il faut vérifier les deux définitions, arithmétique et géométrique ?

Oui, on teste les deux. Rappelle-moi ce qui caractérise une suite arithmétique : que doit-on vérifier sur les différences $c_{n + 1} - c_{n}$ ?

Élève

Il faut que $c_{n + 1} - c_{n}$ soit toujours le même nombre, constant. Avec la relation de la question 1, je peux calculer $c_{2} - c_{1}$ et $c_{3} - c_{2}$ pour voir.

C'est la bonne piste. Calcule ces deux différences à partir de $c_{n + 1} = c_{n} + (n + 1)$ : que trouves-tu, et que peux-tu en dire ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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