On place € sur un livret rémunéré à par an, intérêts composés

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Suites arithmétiques et géométriques

Énoncé

On place $3000$ € sur un livret rémunéré à $1, 8 %$ par an, intérêts composés ; on note $c_{n}$ le capital au bout de $n$ années.

Exprimer $c_{n}$ , puis calculer $c_{15}$ (arrondi à l'euro).
Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il $4000$ € ? (Un algorithme de seuil, ou des essais successifs à la calculatrice.)

Corrigé

1. Chaque année, le capital est multiplié par $1 + \frac{1 , 8}{100} = 1, 018$ : la suite $(c_{n})$ est géométrique de raison $1, 018$ et de premier terme $c_{0} = 3000$ , donc

$c_{n} = 3000 \times 1, 01 8^{n}, d’o u ˋ c_{15} = 3000 \times 1, 01 8^{15} \approx 3920 € .$

2. Il faut résoudre $3000 \times 1, 01 8^{n} > 4000$ , c'est-à-dire $1, 01 8^{n} > \frac{4}{3}$ . À la calculatrice : $c_{16} \approx 3991$ € et $c_{17} \approx 4063$ €. C'est donc au bout de $17$ années que le capital dépasse $4000$ €. Un algorithme de seuil rend le même résultat :


def seuil():
    c, n = 3000, 0
    while c <= 4000:
        c = 1.018 * c
        n = n + 1
    return n        # renvoie 17

Erreur attendue : ajouter $1, 8 %$ de $3000$ chaque année (soit $54$ € par an, une suite arithmétique). Avec des intérêts composés, le pourcentage porte sur le capital de l'année, qui grossit.

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