mathématiques (première) · Chapitre 2 · Exercice supplémentaire

Soit …. - Montrer que …. - Vers quoi tend Sₙ quand n devient grand ?

Suites numériques, modèles discrets · Suites remarquables · niveau 2

Énoncé

Soit $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}}$ .

Montrer que $S_{n} = 2 - \frac{1}{2 ^{n}}$ .
Vers quoi tend $S_{n}$ quand $n$ devient grand ? On dit que la « somme infinie » $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots$ vaut $2$ : cette notion de série est hors programme, mais elle éclaire le paradoxe d'Achille et de la tortue.
Adapter le calcul pour montrer que $0, 999 \dots = 1$ .

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1. Montrer que $S_{n} = 2 - \frac{1}{2 ^{n}}$ .

Élève

Je vois bien que $S_{n}$ est une somme de termes, mais je ne sais pas comment la calculer : il y a $n + 1$ termes, non ?

Oui, de $\frac{1}{2 ^{0}}$ jusqu'à $\frac{1}{2 ^{n}}$ , cela fait bien $n + 1$ termes. Regarde comment on passe d'un terme au suivant : que fais-tu à $1$ pour obtenir $\frac{1}{2}$ , puis à $\frac{1}{2}$ pour obtenir $\frac{1}{4}$ ?

Élève

On multiplie toujours par $\frac{1}{2}$ . Donc c'est une suite géométrique, et je peux utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

Exact. Cette formule fait intervenir le premier terme, la raison et le nombre de termes. Écris-la avec ces trois éléments pour $S_{n}$ : quel est le premier terme, et combien de termes comptes-tu ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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