Soit …. - Montrer que …. - Vers quoi tend Sₙ quand n devient grand ?

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Suites remarquables

Énoncé

Soit $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}}$ .

Montrer que $S_{n} = 2 - \frac{1}{2 ^{n}}$ .
Vers quoi tend $S_{n}$ quand $n$ devient grand ? On dit que la « somme infinie » $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots$ vaut $2$ : cette notion de série est hors programme, mais elle éclaire le paradoxe d'Achille et de la tortue.
Adapter le calcul pour montrer que $0, 999 \dots = 1$ .

Corrigé

1. $S_{n}$ est la somme des $n + 1$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $\frac{1}{2}$ :

$S_{n} = \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n + 1}}) = 2 - \frac{1}{2 ^{n}} .$

2. Comme $\frac{1}{2 ^{n}}$ tend vers $0$ , $S_{n}$ tend vers $2$ . Achille, qui parcourt d'abord la moitié du trajet, puis la moitié du reste, et ainsi de suite, franchit bien la distance totale : la somme d'une infinité de durées peut être finie. 3. Le même calcul avec la raison $\frac{1}{10}$ :

$0, 9 + 0, 09 + \dots + 0, 9 \times 1 0^{- n} = 0, 9 \times \frac{1 - 1 0 ^{- (n + 1)}}{1 - \frac{1}{10}} = 1 - 1 0^{- (n + 1)} .$

Cette quantité, qui est l'écriture $0, 99 \dots 9$ à $n + 1$ décimales, tend vers $1$ : l'écriture illimitée $0, 999 \dots$ désigne donc bien le nombre $1$ . Contrôle : $S_{3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{15}{8}$ , et $2 - \frac{1}{8} = \frac{15}{8}$ . ✓

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