Soit (uₙ) définie par u₀ = 3 et uₙ₊₁ = (uₙ + 2)/2. - Calculer u₁, u₂…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Modes de génération

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 2}{2}$ .

Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ .
Conjecturer la limite $ℓ$ de la suite, puis vérifier que $ℓ$ est solution de l'équation $ℓ = \frac{ℓ + 2}{2}$ .

(Une limite éventuelle est nécessairement un « point fixe » de la relation de récurrence.)

Corrigé

1. $u_{1} = \frac{3 + 2}{2} = 2, 5$ ; $u_{2} = \frac{2 , 5 + 2}{2} = 2, 25$ ; $u_{3} = \frac{2 , 25 + 2}{2} = 2, 125$ . 2. Les termes se rapprochent de $2$ en divisant par deux l'écart à chaque étape : on conjecture $ℓ = 2$ . Vérification :

$\frac{ℓ + 2}{2} = \frac{2 + 2}{2} = 2 = ℓ .$

Contrôle : $u_{n} - 2$ vaut successivement $1$ ; $0, 5$ ; $0, 25$ ; $0, 125$ — l'écart est bien divisé par $2$ à chaque rang, ce qui confirme la convergence vers $2$ . Attention à la logique : l'équation $ℓ = \frac{ℓ + 2}{2}$ dit seulement quelle peut être la limite si la suite en admet une. Elle ne prouve pas qu'il en existe une.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.