- Vérifier pour n = 1, 2, 3, 4 que 1³ + 2³ + … + n³ = ((n(n+1))/2 )^…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Démonstrations par récurrence (programme de terminale)

Énoncé

Vérifier pour $n = 1$ , $2$ , $3$ , $4$ que $1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2}$ .
Démontrer cette formule par récurrence.
En déduire que la somme des cubes des $n$ premiers entiers est le carré de leur somme.

Corrigé

1. On compare la somme des cubes au carré de $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ :

$n = 1 : 1 = 1^{2}; n = 2 : 9 = 3^{2}; n = 3 : 36 = 6^{2}; n = 4 : 100 = 1 0^{2} .$

2. Notons $P (n)$ la formule. $P (1)$ est vraie d'après ce qui précède. Supposons $P (n)$ vraie ; alors

$1^{3} + \dots + n^{3} + (n + 1)^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2} + (n + 1)^{3} = (n + 1)^{2} (\frac{n ^{2}}{4} + n + 1) .$

Or $\frac{n ^{2}}{4} + n + 1 = \frac{n ^{2} + 4 n + 4}{4} = \frac{( n + 2 ) ^{2}}{4}$ , d'où

$1^{3} + \dots + (n + 1)^{3} = \frac{( n + 1 ) ^{2} ( n + 2 ) ^{2}}{4} = (\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2})^{2},$

c'est-à-dire $P (n + 1)$ . La formule vaut donc pour tout $n \geq 1$ . 3. Comme $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ , la formule se relit ainsi :

$1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = (1 + 2 + \dots + n)^{2} .$

Une identité remarquable en son genre : la somme des cubes est le carré de la somme. Rien dans l'énoncé ne le laissait présager, et il n'existe aucun analogue simple pour les puissances quatrièmes.

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