mathématiques (première) · Chapitre 3 · Exercice d'entraînement

Deux nombres ont pour somme et pour produit

Fonctions polynômes du second degré · Problèmes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Deux nombres ont pour somme $S$ et pour produit $P$ . Montrer qu'ils sont les racines de $x^{2} - S x + P = 0$ , puis déterminer deux nombres de somme $11$ et de produit $28$ . (Et dire à quelle condition sur $S$ et $P$ de tels nombres existent.)

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Élève

Je ne vois pas trop par où commencer. On me donne une somme et un produit, mais je ne sais pas comment relier ça à un polynôme du second degré.

Pars de ce que tu connais : appelle $x$ et $y$ les deux nombres. Quelles deux égalités traduisent « somme $S$ » et « produit $P$ » ?

Élève

On aurait $x + y = S$ et $x y = P$ . Mais ensuite, comment faire apparaître le polynôme $x^{2} - S x + P$ ?

Bien. Maintenant, pense à un polynôme dont $x$ et $y$ seraient les racines : comment peut-on l'écrire sous forme factorisée, en fonction de $x$ et $y$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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