Montrer que pour tout réel,, de deux façons

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 3 — Fonctions polynômes du second degré · À la frontière du programme

Énoncé

Montrer que pour tout réel $x$ , $x^{2} + x + 1 > 0$ , de deux façons : par le discriminant, puis par la forme canonique. Laquelle des deux prouve aussi que le minimum vaut $\frac{3}{4}$ ?

Corrigé

Par le discriminant : $Δ = 1 - 4 = - 3 < 0$ et $a = 1 > 0$ , donc le trinôme est du signe de $a$ partout : strictement positif. Par la forme canonique : $x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0$ . C'est la SECONDE qui donne le minimum $\frac{3}{4}$ , atteint en $x = - \frac{1}{2}$ : le discriminant dit le signe, la forme canonique dit combien.

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