Soit f(x) = x² + bx + c. On sait que f(1) = 0 et que la parabole…

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 3 — Fonctions polynômes du second degré · Aller au-delà de la formule

Énoncé

Soit $f (x) = x^{2} + b x + c$ . On sait que $f (1) = 0$ et que la parabole représentant $f$ admet la droite d'équation $x = 3$ pour axe de symétrie. Déterminer $b$ et $c$ , puis l'autre racine de $f$ , de deux façons.

Corrigé

Axe de symétrie. Pour $f (x) = x^{2} + b x + c$ , l'axe a pour équation $x = - \frac{b}{2}$ . Donc $- \frac{b}{2} = 3$ , soit $b = - 6$ .

Racine connue. $f (1) = 1 - 6 + c = 0$ donne $c = 5$ . Ainsi $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .

L'autre racine, par la somme. La somme des racines vaut $- \frac{b}{a} = 6$ ; comme l'une vaut $1$ , l'autre vaut $5$ .

L'autre racine, par la symétrie. Les racines sont symétriques par rapport à l'axe $x = 3$ : la symétrique de $1$ est $2 \times 3 - 1 = 5$ .

Contrôle : $f (x) = (x - 1) (x - 5)$ redonne bien $x^{2} - 6 x + 5$ , et le produit des racines vaut $\frac{c}{a} = 5 = 1 \times 5$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.