Soit f(x) = x² + bx + c. On sait que f(1) = 0 et que la parabole…

Axe de symétrie. Pour $f(x)=x^2+bx+c$, l'axe a pour équation $x=-\frac{b}{2}$. Donc $-\frac{b}{2}=3$, soit $b=-6$.

Racine connue. $f(1)=1-6+c=0$ donne $c=5$. Ainsi $f(x)=x^2-6x+5$.

L'autre racine, par la somme. La somme des racines vaut $-\frac{b}{a}=6$ ; comme l'une vaut $1$, l'autre vaut $5$.

L'autre racine, par la symétrie. Les racines sont symétriques par rapport à l'axe $x=3$ : la symétrique de $1$ est $2\times 3-1=5$.

Contrôle : $f(x)=(x-1)(x-5)$ redonne bien $x^2-6x+5$, et le produit des racines vaut $\frac{c}{a}=5=1\times 5$.