Une équation du second degré à coefficients entiers admet pour racine

Somme et produit : $(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$ et $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$ — deux entiers. Donc $x^2-4x+1=0$ convient, et l'on vérifie que $2+\sqrt{3}$ en est bien racine. Pourquoi l'autre racine est forcée : si $r$ est la seconde racine, la somme $(2+\sqrt{3})+r$ est rationnelle, donc $r=q-2-\sqrt{3}$ avec $q$ rationnel ; le produit doit l'être aussi, ce qui impose $q=4$, c'est-à-dire $r=2-\sqrt{3}$.