Démontrer, à partir de la définition du nombre dérivé, que la fonction…

Soit $a$ un réel et $h\ne 0$. En développant $(a+h{)}^3=a^3+3a^{2}h+3a{h}^2+h^3$ :

$$\frac{(a+h{)}^3-a^3}{h}=\frac{3a^{2}h+3a{h}^2+h^3}{h}=3a^2+3ah+h^2.$$

La simplification par $h$ est licite puisque $h\ne 0$. Quand $h$ tend vers $0$, les deux derniers termes tendent vers $0$ : le taux tend vers $3a^2$. La fonction cube est donc dérivable en tout réel $a$, de nombre dérivé $3a^2$ : sa dérivée est $x\mapsto 3x^2$. L'étape décisive : simplifier avant de faire tendre $h$ vers $0$. Sans cette simplification, le quotient prend la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ et ne dit rien.