mathématiques (première) · Chapitre 4 · Exercice supplémentaire

Démontrer, à partir de la définition du nombre dérivé, que la fonction…

Dérivation · Retour à la définition · niveau 2

Énoncé

Démontrer, à partir de la définition du nombre dérivé, que la fonction cube a pour dérivée $x \mapsto 3 x^{2}$ . (Développer $(a + h)^{3}$ et simplifier le taux de variation avant de faire tendre $h$ vers $0$ .)

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Élève

Je ne sais pas par où commencer : la définition du nombre dérivé, c'est un quotient avec $h$ , mais je ne vois pas quoi en faire ici.

C'est bien de partir de la définition. Écris-la pour une fonction $f$ en un point $a$ : quel quotient apparaît, et avec quelle limite ? Ensuite, tu sauras ce qu'il faut calculer pour $f (x) = x^{3}$ .

Élève

Le quotient, c'est $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ , et on regarde sa limite quand $h$ tend vers $0$ . Donc avec la fonction cube, il faut calculer $\frac{( a + h ) ^{3} - a ^{3}}{h}$ .

Oui, c'est le bon point de départ. Maintenant, comment développer $(a + h)^{3}$ ? Écris le développement, puis regarde ce que devient le quotient une fois $a^{3}$ retiré au numérateur.

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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