mathématiques (première) · Chapitre 4 · Exercice supplémentaire

Étudier la dérivabilité en de, puis de

Dérivation · Vers la terminale · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Étudier la dérivabilité en $0$ de $f (x) = ∣ x ∣$ , puis de $g (x) = x ∣ x ∣$ . (Former le taux de variation en $0$ dans chaque cas, en distinguant $h > 0$ et $h < 0$ ; comparer avec le couple $∣ x ∣$ / $x ∣ x ∣$ du cours.)

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Élève

Pour la dérivabilité en $0$ , je ne sais pas trop par où partir : la formule de la dérivée avec $∣ x ∣$ me bloque.

Reviens à la définition : la dérivée en $0$ , c'est la limite du taux de variation $\frac{f ( 0 + h ) - f ( 0 )}{h}$ quand $h$ tend vers $0$ . Que vaut $f (0)$ ici, et que devient ce taux pour $f$ ?

Élève

Comme $f (0) = 0$ , le taux vaut $\frac{∣ h ∣}{h}$ . Mais avec la valeur absolue, je ne sais pas si je peux calculer la limite directement.

C'est bien le bon taux. La valeur absolue change d'expression selon le signe de $h$ : quel taux obtiens-tu si tu sépares $h > 0$ et $h < 0$ ?

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