Étudier la dérivabilité en de, puis de

La fonction $f(x)=\sqrt{\left|x\right|}$. Son taux de variation en $0$ vaut $\frac{\sqrt{\left|h\right|}}{h}$. Pour $h>0$ : $\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$, qui devient arbitrairement grand quand $h$ tend vers $0$. Pour $h<0$ : $\frac{\sqrt{-h}}{h}=-\frac{1}{\sqrt{-h}}$, qui devient arbitrairement grand en valeur absolue négative. Le taux n'a donc pas de limite finie : $f$ n'est pas dérivable en $0$. La courbe y présente deux demi-tangentes verticales, formant un point de rebroussement. La fonction $g(x)=x\sqrt{\left|x\right|}$. Son taux de variation en $0$ vaut

$$\frac{h\sqrt{\left|h\right|}}{h}=\sqrt{\left|h\right|},$$

qui tend vers $0$. La fonction $g$ est donc dérivable en $0$, avec $g^{\prime }(0)=0$ : sa courbe y admet une tangente horizontale. Le parallèle avec le cours : $\left|x\right|$ n'est pas dérivable en $0$ (deux demi-tangentes de pentes $1$ et $-1$), alors que $x\left|x\right|$ l'est, de dérivée nulle. Multiplier par $x$ « redresse » l'angle en un contact lisse — ici encore, mais avec une singularité verticale au lieu d'un angle.