Soit a > 0. Montrer, à partir de la définition, que la fonction racine…

Soit $a>0$ et $h\ne 0$ tel que $a+h>0$. Le taux de variation vaut

$$\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}.$$

On multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{a+h}+\sqrt{a}$, qui est non nulle :

$$\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}=\frac{{\left(\sqrt{a+h}\right)}^2-{\left(\sqrt{a}\right)}^2}{h\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)}=\frac{(a+h)-a}{h\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)}=\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}.$$

Quand $h$ tend vers $0$, $\sqrt{a+h}$ tend vers $\sqrt{a}$ : le taux tend vers $\frac{1}{2\sqrt{a}}$, qui est un nombre réel puisque $a>0$. La fonction racine carrée est donc dérivable en $a$, de nombre dérivé $\frac{1}{2\sqrt{a}}$. Pourquoi $a>0$ est indispensable : en $a=0$, le taux vaut $\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$, qui devient arbitrairement grand. La courbe y admet une tangente verticale, et la fonction n'y est pas dérivable.