- Soit a un réel. Montrer que pour tout x, x² - (2ax - a² ) = (x - a)²…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Approximation affine et position par rapport aux tangentes

Énoncé

Soit $a$ un réel. Montrer que pour tout $x$ , $x^{2} - (2 a x - a^{2}) = (x - a)^{2} \geq 0$ .
En déduire que la parabole d'équation $y = x^{2}$ est toujours au-dessus de chacune de ses tangentes (on dit qu'elle est convexe : notion de terminale).
Montrer en revanche que la courbe de $x \mapsto x^{3}$ traverse sa tangente en $0$ .

Corrigé

1. Il suffit de développer :

$x^{2} - (2 a x - a^{2}) = x^{2} - 2 a x + a^{2} = (x - a)^{2} \geq 0.$

2. La tangente à la parabole $y = x^{2}$ au point d'abscisse $a$ a pour équation

$y = 2 a (x - a) + a^{2} = 2 a x - a^{2} .$

La question 1 dit exactement que $x^{2} \geq 2 a x - a^{2}$ pour tout $x$ : la parabole est au-dessus de cette tangente, et ce quel que soit $a$ . Le contact est unique, en $x = a$ , seul point où $(x - a)^{2} = 0$ . 3. Pour $g (x) = x^{3}$ , $g^{'} (0) = 0$ et $g (0) = 0$ : la tangente en $0$ est l'axe des abscisses, d'équation $y = 0$ . Or

$g (x) - 0 = x^{3}$

est strictement négatif pour $x < 0$ et strictement positif pour $x > 0$ : la courbe passe sous sa tangente à gauche et au-dessus à droite. Elle la traverse. Le vocabulaire de terminale : $x \mapsto x^{2}$ est convexe sur $R$ , tandis que $x \mapsto x^{3}$ change de convexité en $0$ — ce point s'appelle un point d'inflexion.

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