mathématiques (première) · Chapitre 4 · Exercice supplémentaire

- Soit a un réel. Montrer que pour tout x, x² - (2ax - a² ) = (x - a)²…

Dérivation · Approximation affine et position par rapport aux tangentes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $a$ un réel. Montrer que pour tout $x$ , $x^{2} - (2 a x - a^{2}) = (x - a)^{2} \geq 0$ .
En déduire que la parabole d'équation $y = x^{2}$ est toujours au-dessus de chacune de ses tangentes (on dit qu'elle est convexe : notion de terminale).
Montrer en revanche que la courbe de $x \mapsto x^{3}$ traverse sa tangente en $0$ .

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

1. Soit $a$ un réel. Montrer que pour tout $x$ , $x^{2} - (2 a x - a^{2}) = (x - a)^{2} \geq 0$ .

Élève

Pour la question 1, je ne sais pas trop par où commencer : il y a une égalité et une inégalité dans la même phrase.

Tu as raison, il y a deux choses à montrer. Commence par la partie gauche : que peux-tu faire du membre $x^{2} - (2 a x - a^{2})$ pour le transformer ?

Élève

Je pourrais enlever les parenthèses, mais le signe moins devant me gêne un peu.

C'est la bonne piste : distribue ce signe moins sur chaque terme de la parenthèse. Qu'obtiens-tu ensuite comme expression ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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Reprends la question 1 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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