Soit définie sur, de courbe

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Tangentes

Énoncé

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ définie sur $R$ , de courbe $C_{f}$ .

Déterminer les points de $C_{f}$ où la tangente est horizontale.
Déterminer les points de $C_{f}$ où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y = 9 x - 1$ .
Écrire l'équation de la tangente $T_{0}$ au point d'abscisse $0$ , puis montrer que $T_{0}$ recoupe $C_{f}$ en un second point, que l'on déterminera.

Corrigé

On a $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ .

1. Tangente horizontale $⟺ f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 0$ ou $x = 2$ . Comme $f (0) = 2$ et $f (2) = 8 - 12 + 2 = - 2$ , les points cherchés sont $(0; 2)$ et $(2; - 2)$ .

2. Parallèle à $y = 9 x - 1$ signifie « même pente », donc $f^{'} (x) = 9$ :

$3 x^{2} - 6 x = 9 ⟺ x^{2} - 2 x - 3 = 0.$

Somme $2$ , produit $- 3$ : les racines sont $3$ et $- 1$ . Or $f (3) = 27 - 27 + 2 = 2$ et $f (- 1) = - 1 - 3 + 2 = - 2$ : les points sont $(3; 2)$ et $(- 1; - 2)$ .

3. $f (0) = 2$ et $f^{'} (0) = 0$ : $T_{0}$ a pour équation $y = 2$ . Cherchons les abscisses communes :

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 = 2 ⟺ x^{3} - 3 x^{2} = 0 ⟺ x^{2} (x - 3) = 0.$

La racine $x = 0$ est double — c'est le point de tangence — et $x = 3$ donne un second point d'intersection, $(3; 2)$ .

Contrôle : $f (3) = 2$ ✓ : le point $(3; 2)$ est bien à la fois sur la courbe et sur la droite $y = 2$ . Une tangente peut donc parfaitement recouper la courbe ailleurs qu'au point de tangence.

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