Soit définie sur, où et sont deux paramètres réels

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Calculs de dérivées et applications

Énoncé

Soit $f (x) = \frac{a x + b}{x + 1}$ définie sur $] - 1; + \infty [$ , où $a$ et $b$ sont deux paramètres réels. Déterminer $a$ et $b$ pour que la courbe de $f$ passe par $A (0; 3)$ et que la tangente en $A$ ait pour coefficient directeur $- 2$ . (Calculer d'abord $f^{'} (x)$ en fonction de $a$ et $b$ : le numérateur se simplifie remarquablement.)

Corrigé

Le point $A$ . $f (0) = \frac{b}{1} = b$ , et $A (0; 3)$ impose $b = 3$ . La dérivée. Avec $u = a x + b$ et $v = x + 1$ :

$f^{'} (x) = \frac{a ( x + 1 ) - ( a x + b ) \times 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{a x + a - a x - b}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{a - b}{( x + 1 ) ^{2}} .$

Le numérateur ne dépend pas de $x$ : c'est la simplification annoncée. La tangente. $f^{'} (0) = a - b = - 2$ , d'où $a = b - 2 = 1$ . Ainsi $a = 1$ et $b = 3$ , c'est-à-dire $f (x) = \frac{x + 3}{x + 1}$ . Contrôle : $f (0) = 3$ ✓ et $f^{'} (x) = \frac{- 2}{( x + 1 ) ^{2}}$ , donc $f^{'} (0) = - 2$ . ✓ Ce que le signe de $a - b$ gouverne : la dérivée garde un signe constant sur tout l'intervalle. Ici $a - b = - 2 < 0$ : $f$ est décroissante sur $] - 1; + \infty [$ tout entier.

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