Soit la fonction définie sur par

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Taux de variation et nombre dérivé

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $] - 2; + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{x + 2}$ .

Calculer et simplifier le taux de variation de $f$ entre $0$ et $h$ (pour $h \neq = 0$ et $h > - 2$ ).
En déduire $f^{'} (0)$ à partir de la définition du nombre dérivé.
Retrouver ce résultat à l'aide des formules de dérivation.

Corrigé

1. On a $f (0) = \frac{1}{2}$ et $f (h) = \frac{1}{h + 2}$ , donc

$\frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} = \frac{1}{h} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{h} \times \frac{2 - ( h + 2 )}{2 ( h + 2 )} = \frac{1}{h} \times \frac{- h}{2 ( h + 2 )} = \frac{- 1}{2 ( h + 2 )} .$

2. Quand $h$ tend vers $0$ , ce taux tend vers $\frac{- 1}{2 \times 2} = - \frac{1}{4}$ : $f$ est dérivable en $0$ et $f^{'} (0) = - \frac{1}{4}$ .

3. $f = \frac{1}{v}$ avec $v (x) = x + 2$ et $v^{'} (x) = 1$ , donc $f^{'} (x) = - \frac{v ^{'} ( x )}{v ( x ) ^{2}} = - \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}}$ , et $f^{'} (0) = - \frac{1}{4}$ .

Contrôle : les deux voies concordent — c'est le sens même des formules du cours, qui abrègent le calcul de la limite du taux de variation.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.