mathématiques (première) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Soit la fonction définie sur par

Dérivation · Taux de variation et nombre dérivé · niveau 2

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $] - 2; + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{x + 2}$ .

Calculer et simplifier le taux de variation de $f$ entre $0$ et $h$ (pour $h \neq = 0$ et $h > - 2$ ).
En déduire $f^{'} (0)$ à partir de la définition du nombre dérivé.
Retrouver ce résultat à l'aide des formules de dérivation.

Corrigé de la question 1

1. On a $f (0) = \frac{1}{2}$ et $f (h) = \frac{1}{h + 2}$ , donc

$\frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} = \frac{1}{h} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{h} \times \frac{2 - ( h + 2 )}{2 ( h + 2 )} = \frac{1}{h} \times \frac{- h}{2 ( h + 2 )} = \frac{- 1}{2 ( h + 2 )} .$

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. En déduire $f^{'} (0)$ à partir de la définition du nombre dérivé.

Élève

Pour la question 2, je dois repartir du taux de variation trouvé, c'est ça ?

Oui. Rappelle-moi ce que représente le nombre dérivé en $0$ par rapport à ce taux de variation : quelle est la définition du cours ?

Élève

C'est la limite du taux de variation quand $h$ tend vers 0, non ?

Exactement. Tu as donc $\frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} = \frac{- 1}{2 ( h + 2 )}$ . Que devient cette expression quand $h$ se rapproche de $0$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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