Soit un entier,, et un réel

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Énoncé

Soit $n$ un entier, $n \geq 1$ , et $a$ un réel. En utilisant la factorisation

$x^{n} - a^{n} = (x - a) (x^{n - 1} + a x^{n - 2} + \dots + a^{n - 1})$

(chapitre 3), démontrer que la fonction $x \mapsto x^{n}$ est dérivable en $a$ et que son nombre dérivé vaut $n a^{n - 1}$ . (Le second facteur compte $n$ termes ; chacun tend vers $a^{n - 1}$ .)

Corrigé

Soit $a$ un réel et $x \neq = a$ . En divisant l'identité donnée par $x - a$ , non nul :

$\frac{x ^{n} - a ^{n}}{x - a} = x^{n - 1} + a x^{n - 2} + a^{2} x^{n - 3} + \dots + a^{n - 1} .$

Le second membre est une somme de $n$ termes, chacun de la forme $a^{k} x^{n - 1 - k}$ pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$ . Quand $x$ tend vers $a$ , chacun tend vers $a^{k} a^{n - 1 - k} = a^{n - 1}$ . La somme tend donc vers

$n termes a^{n - 1} + a^{n - 1} + \dots + a^{n - 1} = n a^{n - 1} .$

La fonction $x \mapsto x^{n}$ est donc dérivable en $a$ , de nombre dérivé $n a^{n - 1}$ . Contrôle : pour $n = 3$ , on retrouve $3 a^{2}$ , conforme à l'exercice précédent ; pour $n = 1$ , la dérivée vaut $1$ . ✓ Le point à surveiller : le second facteur compte bien $n$ termes, pas $n - 1$ . Une erreur de comptage donnerait $(n - 1) a^{n - 1}$ , faux dès $n = 2$ .

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