Soit une fonction dérivable et ne s'annulant pas sur un intervalle

La dérivée de $\frac{1}{v}$. Soit $a\in I$ et $h\ne 0$ tel que $a+h\in I$. Comme $v$ ne s'annule pas :

$$\frac{1}{h}\left(\frac{1}{v(a+h)}-\frac{1}{v(a)}\right)=\frac{1}{h}\times \frac{v(a)-v(a+h)}{v(a+h)v(a)}=-\frac{v(a+h)-v(a)}{h}\times \frac{1}{v(a+h)v(a)}.$$

Quand $h$ tend vers $0$, le premier facteur tend vers $v^{\prime }(a)$ ; et $v$, étant dérivable, est continue, de sorte que $v(a+h)$ tend vers $v(a)$ et le second facteur vers $\frac{1}{v(a{)}^2}$. Le taux tend donc vers

$$-\frac{v^{\prime }(a)}{v(a{)}^2},\text{c’est-aˋ-dire}{\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}.$$

La dérivée d'un quotient. En écrivant $\frac{u}{v}=u\times \frac{1}{v}$ et en appliquant la formule du produit :

$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=u^{\prime }\times \frac{1}{v}+u\times \left(-\frac{v^{\prime }}{v^2}\right)=\frac{u^{\prime }v}{v^2}-\frac{u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}.$$

L'ordre compte : au numérateur c'est $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$, jamais $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$. Un contrôle rapide : pour $u=1$, on doit retrouver $-\frac{v^{\prime }}{v^2}$ — ce que seule la première écriture donne.