Tangentes communes. Soit P : y = x² et Q : y = -x² + 2x - 1. - Écrire…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Approximation affine et position par rapport aux tangentes

Énoncé

Tangentes communes. Soit $P : y = x^{2}$ et $Q : y = - x^{2} + 2 x - 1$ .

Écrire l'équation de la tangente à $P$ au point d'abscisse $a$ , puis celle de la tangente à $Q$ au point d'abscisse $b$ .
Écrire les deux conditions traduisant que ces droites sont confondues, et résoudre le système obtenu.
Conclure : les deux paraboles admettent exactement deux tangentes communes, que l'on déterminera.

Corrigé

1. Pour $P : y = x^{2}$ , la tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation

$y = 2 a (x - a) + a^{2} = 2 a x - a^{2} .$

Pour $Q : y = - x^{2} + 2 x - 1$ , la dérivée vaut $- 2 x + 2$ ; au point d'abscisse $b$ :

$y = (- 2 b + 2) (x - b) + (- b^{2} + 2 b - 1) = (2 - 2 b) x + b^{2} - 1.$

2. Deux droites non verticales sont confondues lorsqu'elles ont même coefficient directeur et même ordonnée à l'origine :

${2 a = 2 - 2 b - a^{2} = b^{2} - 1 soit {a = 1 - b a^{2} + b^{2} = 1.$

En reportant : $(1 - b)^{2} + b^{2} = 1$ , soit $2 b^{2} - 2 b = 0$ , c'est-à-dire $2 b (b - 1) = 0$ . D'où $b = 0$ ou $b = 1$ . 3. Si $b = 0$ , alors $a = 1$ : la tangente commune est $y = 2 x - 1$ , touchant $P$ en $(1; 1)$ et $Q$ en $(0; - 1)$ . Si $b = 1$ , alors $a = 0$ : la tangente commune est $y = 0$ , touchant $P$ en $(0; 0)$ et $Q$ en $(1; 0)$ . Les deux paraboles admettent donc exactement deux tangentes communes : $y = 0$ et $y = 2 x - 1$ . Contrôle : $Q$ s'écrit $y = - (x - 1)^{2}$ ; son sommet est $(1; 0)$ , où la tangente est bien horizontale. ✓

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