Une question renversée (notion de primitive, terminale)

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Vers la terminale

Énoncé

Une question renversée (notion de primitive, terminale). On cherche une fonction $g$ , dérivable sur $R$ , telle que $g^{'} (x) = x^{2}$ pour tout $x$ .

Essayer $g (x) = k x^{3}$ : quelle valeur de $k$ convient ?
Montrer que $g (x) = \frac{x ^{3}}{3} + C$ convient pour tout réel $C$ .
Existe-t-il d'autres solutions ? (Si $g_{1}$ et $g_{2}$ conviennent, que dire de $(g_{1} - g_{2})^{'}$ , et donc de $g_{1} - g_{2}$ ?)

Corrigé

1. Si $g (x) = k x^{3}$ , alors $g^{'} (x) = 3 k x^{2}$ . L'égalité $3 k x^{2} = x^{2}$ pour tout $x$ impose $3 k = 1$ , soit $k = \frac{1}{3}$ . 2. Pour $g (x) = \frac{x ^{3}}{3} + C$ , la dérivée d'une constante étant nulle,

$g^{'} (x) = \frac{3 x ^{2}}{3} + 0 = x^{2} .$

Toute fonction de cette forme convient donc, quel que soit le réel $C$ . 3. Soient $g_{1}$ et $g_{2}$ deux solutions. Alors $(g_{1} - g_{2})^{'} = g_{1}^{'} - g_{2}^{'} = x^{2} - x^{2} = 0$ sur $R$ . Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante (conséquence du théorème du cours reliant signe de la dérivée et sens de variation : elle est à la fois croissante et décroissante). Donc $g_{1} - g_{2} = C$ pour un certain réel $C$ . Les solutions sont donc exactement les fonctions $x \mapsto \frac{x ^{3}}{3} + C$ , et il n'y en a pas d'autres. Prolongement : ces fonctions s'appellent les primitives de $x \mapsto x^{2}$ . Elles sont au programme de terminale et servent au calcul d'aires ; on retiendra dès maintenant qu'une primitive n'est jamais unique, mais qu'elle l'est « à une constante près ».

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.