Déterminer le point de la parabole d'équation le plus proche du point

Un point de la parabole s'écrit $M\left(x;x^2\right)$. Le carré de sa distance à $A(0;3)$ vaut

$$D(x)=(x-0{)}^2+{\left(x^2-3\right)}^2=x^2+{\left(x^2-3\right)}^2.$$

Minimiser $D$ ou $\sqrt{D}$ revient au même, la racine carrée étant croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ : on travaille donc sur $D$, qui est polynomiale.

$$D^{\prime }(x)=2x+2\left(x^2-3\right)\times 2x=2x\left[1+2\left(x^2-3\right)\right]=2x\left(2x^2-5\right).$$

Les racines sont $0$ et $\pm \sqrt{\frac{5}{2}}=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$. Le tableau de signes du produit $2x\left(2x^2-5\right)$ montre que $D$ décroît, croît, décroît, croît : $x=0$ est un maximum local, et les deux minima sont en $x=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}\approx \pm 1,581$. En ces points,

$$D=\frac{5}{2}+{\left(\frac{5}{2}-3\right)}^2=\frac{5}{2}+\frac{1}{4}=\frac{11}{4},\text{distance}=\frac{\sqrt{11}}{2}\approx 1,658.$$

Les points cherchés sont donc $\left(\pm \frac{\sqrt{10}}{2};\frac{5}{2}\right)$, par symétrie deux réponses. Contrôle : le sommet $(0;0)$ est à distance $3$ de $A$, nettement plus loin que $1,658$. ✓ Piège : croire que le point le plus proche est le sommet de la parabole. Il l'est pour $A(0;y)$ avec $y\le \frac{1}{2}$, mais plus au-delà — le calcul, lui, ne se laisse pas tromper.