Étudier la position relative des courbes de et de sur

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Positions relatives et méthode de Newton

Énoncé

Étudier la position relative des courbes de $f (x) = x^{4}$ et de $g (x) = x^{2}$ sur $R$ .

Corrigé

On étudie le signe de la différence

$d (x) = g (x) - f (x) = x^{2} - x^{4} = x^{2} (1 - x^{2}) = x^{2} (1 - x) (1 + x) .$

Le facteur $x^{2}$ est positif (nul en $0$ ) ; le signe de $d$ est donc celui de $(1 - x) (1 + x)$ : positif sur $] - 1; 1 [$ , négatif à l'extérieur.

Ainsi la courbe de $g$ est au-dessus de celle de $f$ sur $] - 1; 1 [$ , en dessous sur $] - \infty; - 1 [$ et $] 1; + \infty [$ ; les deux courbes se coupent en $x = - 1$ , $x = 0$ et $x = 1$ .

Contrôle : en $x = 0, 5$ , $x^{2} = 0, 25$ et $x^{4} = 0, 0625$ : $g$ est bien au-dessus. En $x = 2$ , $4 < 16$ : $g$ est bien en dessous. ✓

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.