Étudier la position relative des courbes de et de sur

On étudie le signe de la différence

$$d(x)=g(x)-f(x)=x^2-x^4=x^2\left(1-x^2\right)=x^2(1-x)(1+x).$$

Le facteur $x^2$ est positif (nul en $0$) ; le signe de $d$ est donc celui de $(1-x)(1+x)$ : positif sur $\left]-1;1\right[$, négatif à l'extérieur.

Ainsi la courbe de $g$ est au-dessus de celle de $f$ sur $\left]-1;1\right[$, en dessous sur $\left]-\infty ;-1\right[$ et $\left]1;+\infty \right[$ ; les deux courbes se coupent en $x=-1$, $x=0$ et $x=1$.

Contrôle : en $x=0,5$, $x^2=0,25$ et $x^4=0,0625$ : $g$ est bien au-dessus. En $x=2$, $4<16$ : $g$ est bien en dessous. ✓