La dérivée seconde mesure la façon dont la pente varie

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Convexité et dérivée seconde (programme de terminale)

Énoncé

La dérivée seconde $f^{''} = (f^{'})^{'}$ mesure la façon dont la pente varie. Une fonction est dite convexe lorsque $f^{''} \geq 0$ (courbe « tournée vers le haut »), concave lorsque $f^{''} \leq 0$ .

Calculer $f^{''}$ pour $f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{4}$ et $h (x) = x$ .
Déterminer les intervalles de convexité et de concavité de $f$ , et le réel où $f^{''}$ s'annule en changeant de signe (point d'inflexion).

Corrigé

1. Pour $f (x) = x^{3}$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ et $f^{''} (x) = 6 x$ . Pour $g (x) = x^{4}$ : $g^{'} (x) = 4 x^{3}$ et $g^{''} (x) = 12 x^{2}$ . Pour $h (x) = x$ sur $] 0; + \infty [$ : $h^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ et $h^{''} (x) = - \frac{1}{4 x x}$ . 2. $f^{''} (x) = 6 x$ est strictement négative sur $] - \infty; 0 [$ et strictement positive sur $] 0; + \infty [$ : la fonction cube est concave sur $] - \infty; 0]$ et convexe sur $[0; + \infty [$ . Sa dérivée seconde s'annule en $0$ en changeant de signe : l'origine est un point d'inflexion. Contrôle sur les deux autres : $g^{''} = 12 x^{2} \geq 0$ partout — la fonction $x \mapsto x^{4}$ est convexe sur $R$ , sans point d'inflexion (en $0$ , $g^{''}$ s'annule mais ne change pas de signe). Et $h^{''} < 0$ partout : la racine carrée est concave sur tout son domaine.

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