Le coût total de production de q tonnes d'un produit est C(q) = q³ +…

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Problèmes d'optimisation

Énoncé

Le coût total de production de $q$ tonnes d'un produit est $C (q) = q^{3} + 16$ (en milliers d'euros), pour $q > 0$ . Le coût moyen est $M (q) = \frac{C ( q )}{q}$ .

Montrer que $M (q) = q^{2} + \frac{16}{q}$ , puis calculer $M^{'} (q)$ .
Déterminer la production qui minimise le coût moyen, et ce coût moyen minimal.
Vérifier qu'en ce point le coût moyen est égal au coût marginal $C^{'} (q)$ .

Corrigé

1. Pour $q > 0$ :

$M (q) = \frac{q ^{3} + 16}{q} = q^{2} + \frac{16}{q}, d’o u ˋ M^{'} (q) = 2 q - \frac{16}{q ^{2}} = \frac{2 q ^{3} - 16}{q ^{2}} .$

2. $M^{'}$ est du signe de $2 q^{3} - 16 = 2 (q^{3} - 8)$ , donc du signe de $q - 2$ : $M$ décroît sur $] 0; 2]$ puis croît sur $[2; + \infty [$ . Le coût moyen est minimal pour une production de $2$ tonnes, et vaut alors

$M (2) = 4 + \frac{16}{2} = 12 milliers d’euros par tonne .$

3. Le coût marginal est $C^{'} (q) = 3 q^{2}$ , donc $C^{'} (2) = 12$ : il coïncide bien avec le coût moyen minimal. Ce n'est pas un hasard. Au minimum de $M$ , on a $M^{'} (q) = 0$ , c'est-à-dire, en dérivant $M = \frac{C}{q}$ :

$\frac{C ^{'} ( q ) q - C ( q )}{q ^{2}} = 0 ⟺ C^{'} (q) = \frac{C ( q )}{q} = M (q) .$

Le coût marginal égale toujours le coût moyen au point où celui-ci est minimal — résultat classique en économie, appelé « optimum technique ».

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