Montrer que la fonction est strictement croissante sur

$f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ pour tout $x$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Une fonction strictement croissante ne peut prendre deux fois la valeur $0$ : au plus une solution. Or $f(1)=-3<0$ et $f(2)=5>0$ : la courbe passe du négatif au positif, il y a une solution entre $1$ et $2$ (et une seule). (La méthode de Newton donne $x\approx 1,516$.)