Montrer que la fonction est strictement croissante sur

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Variations et extremums

Énoncé

Montrer que la fonction $f (x) = x^{3} + x - 5$ est strictement croissante sur $R$ . En déduire que l'équation $f (x) = 0$ admet au plus une solution, puis vérifier qu'elle en admet une entre $1$ et $2$ .

Corrigé

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ pour tout $x$ : $f$ est strictement croissante sur $R$ . Une fonction strictement croissante ne peut prendre deux fois la valeur $0$ : au plus une solution. Or $f (1) = - 3 < 0$ et $f (2) = 5 > 0$ : la courbe passe du négatif au positif, il y a une solution entre $1$ et $2$ (et une seule). (La méthode de Newton donne $x \approx 1, 516$ .)

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