mathématiques (première) · Chapitre 5 · Exercice supplémentaire

Montrer que pour tous réels et

Variations et courbes représentatives des fonctions · Convexité et dérivée seconde (programme de terminale) · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Montrer que pour tous réels $x$ et $a$ , $x^{2} - (2 a x - a^{2}) = (x - a)^{2}$ : la parabole $y = x^{2}$ est au-dessus de chacune de ses tangentes.
Montrer au contraire que la courbe de $x \mapsto x^{3}$ traverse sa tangente en $0$ , et n'est donc ni au-dessus ni en dessous de toutes ses tangentes.
Rapprocher ces deux résultats du signe de la dérivée seconde.

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1. Montrer que pour tous réels $x$ et $a$ , $x^{2} - (2 a x - a^{2}) = (x - a)^{2}$ : la parabole $y = x^{2}$ est au-dessus de chacune de ses tangentes.

Élève

Je ne vois pas trop par où commencer. Il faut calculer la tangente, ou juste développer l'expression donnée ?

Les deux morceaux de la question sont liés : la tangente, c'est la droite dont on parle, et l'expression à transformer sert à comparer la parabole et cette droite. D'abord, comment obtient-on l'équation de la tangente à $y = x^{2}$ au point d'abscisse $a$ ?

Élève

Avec la dérivée : $f^{'} (x) = 2 x$ , donc au point $a$ le coefficient directeur est $2 a$ . Après, je ne sais plus comment écrire l'équation.

C'est la bonne piste. Une droite de coefficient directeur $2 a$ qui passe par le point de la parabole d'abscisse $a$ : quelle est l'ordonnée de ce point, et quelle équation de droite peux-tu en tirer ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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