Montrer que pour tous réels et

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Convexité et dérivée seconde (programme de terminale)

Énoncé

Montrer que pour tous réels $x$ et $a$ , $x^{2} - (2 a x - a^{2}) = (x - a)^{2}$ : la parabole $y = x^{2}$ est au-dessus de chacune de ses tangentes.
Montrer au contraire que la courbe de $x \mapsto x^{3}$ traverse sa tangente en $0$ , et n'est donc ni au-dessus ni en dessous de toutes ses tangentes.
Rapprocher ces deux résultats du signe de la dérivée seconde.

Corrigé

1. La tangente à $y = x^{2}$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = 2 a (x - a) + a^{2} = 2 a x - a^{2}$ . Or, en développant,

$x^{2} - (2 a x - a^{2}) = x^{2} - 2 a x + a^{2} = (x - a)^{2} \geq 0.$

La parabole est donc au-dessus de chacune de ses tangentes, avec un unique point de contact, en $x = a$ . 2. Pour $g (x) = x^{3}$ , on a $g (0) = 0$ et $g^{'} (0) = 0$ : la tangente en $0$ est la droite $y = 0$ . La différence $g (x) - 0 = x^{3}$ est strictement négative pour $x < 0$ et strictement positive pour $x > 0$ : la courbe traverse sa tangente en $0$ . Elle n'est donc ni au-dessus, ni au-dessous de toutes ses tangentes. 3. La dérivée seconde éclaire les deux cas. Pour $x \mapsto x^{2}$ , $f^{''} = 2 > 0$ partout : la fonction est convexe sur $R$ , et une fonction convexe est toujours au-dessus de ses tangentes. Pour $x \mapsto x^{3}$ , $g^{''} = 6 x$ change de signe en $0$ : la convexité y bascule en concavité, et c'est exactement là que la courbe traverse sa tangente. La règle générale (terminale) : $f^{''} \geq 0$ sur un intervalle $⟺$ $f$ y est convexe $⟺$ la courbe y est au-dessus de toutes ses tangentes.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.