Montrer que pour tout réel

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Inégalités, positions relatives et algorithme

Énoncé

Montrer que pour tout réel $x$ , $x^{4} - 4 x + 3 \geq 0$ . (Étudier les variations de $d (x) = x^{4} - 4 x + 3$ ; on remarquera que $1$ est racine de $d$ et de $d^{'}$ , ce qui n'est pas un hasard.)

Corrigé

Posons $d (x) = x^{4} - 4 x + 3$ sur $R$ . Alors

$d^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 = 4 (x^{3} - 1) = 4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) .$

Le trinôme $x^{2} + x + 1$ a pour discriminant $1 - 4 = - 3 < 0$ et pour coefficient dominant $1 > 0$ : il est strictement positif pour tout $x$ . Donc $d^{'}$ est du signe de $x - 1$ : $d$ décroît sur $] - \infty; 1]$ et croît sur $[1; + \infty [$ . Son minimum est atteint en $x = 1$ et vaut

$d (1) = 1 - 4 + 3 = 0.$

Le minimum étant nul, $d (x) \geq 0$ pour tout réel $x$ , c'est-à-dire $x^{4} - 4 x + 3 \geq 0$ , avec égalité au seul point $x = 1$ . Pourquoi $1$ annule à la fois $d$ et $d^{'}$ : une fonction qui reste positive et qui touche l'axe en un point y atteint son minimum ; en un minimum intérieur, la dérivée s'annule. La racine est donc double — on retrouve la situation du discriminant nul du chapitre 3.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.