mathématiques (première) · Chapitre 5 · Exercice d'entraînement

Montrer que pour tout réel

Variations et courbes représentatives des fonctions · Inégalités, positions relatives et algorithme · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Montrer que pour tout réel $x$ , $x^{4} - 4 x + 3 \geq 0$ . (Étudier les variations de $d (x) = x^{4} - 4 x + 3$ ; on remarquera que $1$ est racine de $d$ et de $d^{'}$ , ce qui n'est pas un hasard.)

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Élève

L'énoncé demande de montrer que $x^{4} - 4 x + 3 \geq 0$ pour tout réel $x$ . Je ne vois pas comment m'y prendre : je ne sais pas par où commencer.

L'énoncé te souffle une piste : étudier les variations de $d (x) = x^{4} - 4 x + 3$ . Pourquoi étudier les variations d'une fonction peut-il aider à montrer qu'elle reste au-dessus de $0$ ?

Élève

Si je connais son minimum et qu'il est positif, alors la fonction est toujours positive. Donc je dois dériver $d$ et étudier le signe de $d^{'}$ .

Oui, c'est la bonne démarche. Commence par calculer $d^{'} (x)$ : quelle expression obtiens-tu ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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