Montrer que pour tout réel

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Inégalités, positions relatives et méthode de Newton

Énoncé

Montrer que pour tout réel $x \geq 0$ : $x^{3} + 2 \geq 3 x$ . Indication : étudier $d (x) = x^{3} - 3 x + 2$ et remarquer une racine évidente de $d$ .

Corrigé

$d^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ : sur $[0; + \infty [$ , $d$ décroît sur $[0; 1]$ puis croît. Minimum : $d (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ . Donc $d (x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$ , c'est-à-dire $x^{3} + 2 \geq 3 x$ , avec égalité en $x = 1$ . (On peut aussi factoriser : $d (x) = (x - 1)^{2} (x + 2)$ , visiblement positif pour $x \geq 0$ .)

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