n° 203

Première voie (algébrique). Comme $a>0$ et $b>0$, on peut poser $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$, et

$$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2}{2}\ge 0.$$

D'où $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$, avec égalité si et seulement si $\sqrt{a}=\sqrt{b}$, c'est-à-dire $a=b$. Seconde voie (par les variations). $b>0$ étant fixé, posons $\phi (x)=\frac{x+b}{2}-\sqrt{xb}$ sur $\left]0;+\infty \right[$. Alors

$${\phi }^{\prime }(x)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{b}}{2\sqrt{x}},$$

du signe de $\sqrt{x}-\sqrt{b}$, donc de $x-b$. La fonction $\phi$ décroît sur $\left]0;b\right]$ et croît ensuite : son minimum est

$$\phi (b)=\frac{2b}{2}-\sqrt{b^2}=b-b=0.$$

Donc $\phi \ge 0$, avec égalité au seul point $x=b$. Contrôle : $a=2$, $b=8$ donnent $\sqrt{16}=4\le 5$. ✓ Le nom : $\sqrt{ab}$ est la moyenne géométrique, $\frac{a+b}{2}$ la moyenne arithmétique. L'inégalité dit que la seconde domine toujours la première.