n° 205

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Inégalités classiques

Énoncé

Inégalité de Bernoulli. Soit $n$ un entier, $n \geq 1$ . Démontrer que pour tout $x \geq - 1$ :

$(1 + x)^{n} \geq 1 + n x .$

(Étudier la différence sur $[- 1; + \infty [$ ; le minimum est atteint en $0$ . On peut aussi la démontrer par récurrence — programme de terminale.)

Corrigé

Posons $d (x) = (1 + x)^{n} - 1 - n x$ sur $[- 1; + \infty [$ . Pour $n = 1$ la différence est identiquement nulle et l'inégalité est une égalité ; supposons donc $n \geq 2$ . Alors

$d^{'} (x) = n (1 + x)^{n - 1} - n = n [(1 + x)^{n - 1} - 1] .$

Comme $1 + x \geq 0$ et $n - 1 \geq 1$ , la quantité $(1 + x)^{n - 1}$ est inférieure à $1$ lorsque $0 \leq 1 + x < 1$ (soit $- 1 \leq x < 0$ ) et supérieure à $1$ lorsque $1 + x > 1$ (soit $x > 0$ ). Donc $d$ décroît sur $[- 1; 0]$ et croît sur $[0; + \infty [$ . Son minimum est atteint en $x = 0$ :

$d (0) = 1 - 1 - 0 = 0.$

Ainsi $d (x) \geq 0$ pour tout $x \geq - 1$ , c'est-à-dire $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$ . Contrôle : $n = 3$ , $x = 1$ donnent $8 \geq 4$ ✓ ; $n = 3$ , $x = - 0, 5$ donnent $0, 125 \geq - 0, 5$ . ✓ Prolongement : c'est encore l'inégalité « courbe au-dessus de la tangente », ici en $x = 0$ . En terminale, la même inégalité se démontre en trois lignes par récurrence, et sert à établir que $q^{n} \to + \infty$ pour $q > 1$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.