On approche par la méthode de Newton appliquée à

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Inégalités, positions relatives et algorithme

Énoncé

On approche $32$ par la méthode de Newton appliquée à $f (x) = x^{3} - 2$ .

Écrire et simplifier la relation de récurrence.
Partant de $x_{0} = 1$ , calculer $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ (six décimales) et comparer à $32 \approx 1, 259921$ .
Écrire une fonction Python rendant $x_{n}$ pour un $n$ donné.

Corrigé

1. Avec $f (x) = x^{3} - 2$ , on a $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , et la relation de Newton s'écrit

$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{3} - 2}{3 x _{n}^{2}} = \frac{3 x _{n}^{3} - x _{n}^{3} + 2}{3 x _{n}^{2}} = \frac{2 x _{n}^{3} + 2}{3 x _{n}^{2}} = \frac{2}{3} x_{n} + \frac{2}{3 x _{n}^{2}} .$

2. Partant de $x_{0} = 1$ :

$x_{1} = \frac{4}{3} = 1, 333333; x_{2} = \frac{91}{72} = 1, 263889; x_{3} = 1, 259933.$

Or $32 \approx 1, 259921$ : dès le rang $3$ , quatre décimales sont exactes, et $x_{4} = 1, 259921$ en donne six. 3.


def newton_cube(n):
    x = 1.0
    for _ in range(n):
        x = (2 * x**3 + 2) / (3 * x**2)
    return x

La signature de Newton : le nombre de décimales exactes double à chaque itération ( $1$ , puis $2$ , puis $4$ , puis $6$ ). C'est ce qu'on appelle une convergence quadratique — sans commune mesure avec la dichotomie de l'exercice suivant.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.