mathématiques (première) · Chapitre 5 · Exercice supplémentaire

Parmi tous les cylindres droits inscrits dans une sphère de rayon R…

Variations et courbes représentatives des fonctions · Optimisation avancée et algorithmes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Parmi tous les cylindres droits inscrits dans une sphère de rayon $R$ , déterminer celui de volume maximal.

En notant $h$ la hauteur du cylindre, justifier que son rayon $r$ vérifie $r^{2} = R^{2} - \frac{h ^{2}}{4}$ .
Exprimer le volume $V (h)$ , puis le maximiser sur $] 0; 2 R [$ .
Donner la valeur du rapport $\frac{h}{R}$ optimal.

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1. En notant $h$ la hauteur du cylindre, justifier que son rayon $r$ vérifie $r^{2} = R^{2} - \frac{h ^{2}}{4}$ .

Élève

Je ne vois pas du tout comment relier $r$ , $h$ et $R$ . Il faut faire un dessin ?

Oui, un dessin aide beaucoup. Coupe le cylindre par un plan qui contient son axe : quelle figure plane obtiens-tu, et où se trouvent les sommets de cette figure par rapport à la sphère ?

Élève

Je pense qu'on voit un rectangle de largeur $2 r$ et de hauteur $h$ , et ses quatre coins sont sur le cercle de rayon $R$ .

Exact. Dans ce cercle, comment s'appelle le segment qui joint deux coins opposés du rectangle, et quelle est sa longueur en fonction de $R$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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