Parmi tous les cylindres droits inscrits dans une sphère de rayon R…

1. Le cylindre étant inscrit, ses deux cercles de base sont sur la sphère. En coupant par un plan contenant l'axe, on lit un rectangle de dimensions $2r$ et $h$ inscrit dans un cercle de rayon $R$ : sa diagonale est un diamètre. Le théorème de Pythagore donne

$$(2r{)}^2+h^2=(2R{)}^2,\text{soit}{r}^2=R^2-\frac{h^2}{4}.$$

2. Le volume vaut $V=\pi r^{2}h$, donc

$$V(h)=\pi \left(R^2-\frac{h^2}{4}\right)h=\pi \left(R^{2}h-\frac{h^3}{4}\right),h\in \left]0;2R\right[.$$

En dérivant par rapport à $h$ (le rayon $R$ est un paramètre fixé) :

$$V^{\prime }(h)=\pi \left(R^2-\frac{3h^2}{4}\right),$$

qui s'annule pour $h^2=\frac{4R^2}{3}$, soit $h=\frac{2R}{\sqrt{3}}$. Sur $\left]0;2R\right[$, $V^{\prime }$ est positive avant cette valeur et négative après : le volume y est maximal. Le rayon correspondant vérifie $r^2=R^2-\frac{R^2}{3}=\frac{2R^2}{3}$, et

$$V_{\max }=\pi \times \frac{2R^2}{3}\times \frac{2R}{\sqrt{3}}=\frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}\pi R^3}{9}\approx 2,418R^3.$$

3. Le rapport optimal vaut

$$\frac{h}{R}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,155.$$

Contrôle : le volume de la sphère vaut $\frac{4}{3}\pi R^3\approx 4,189R^3$ ; le cylindre optimal en occupe environ $58\%$, ce qui est plausible. ✓