mathématiques (première) · Chapitre 5 · Exercice supplémentaire

Quand Newton échoue. On applique la méthode de Newton à f(x) = x³ - 2x…

Variations et courbes représentatives des fonctions · Optimisation avancée et algorithmes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Quand Newton échoue. On applique la méthode de Newton à $f (x) = x^{3} - 2 x + 2$ en partant de $x_{0} = 0$ .

Calculer $x_{1}$ , puis $x_{2}$ . Que constate-t-on ?
En déduire que la suite $(x_{n})$ ne converge pas, bien que $f$ possède une racine réelle (que l'on situera entre $- 2$ et $- 1$ ).
Reprendre avec $x_{0} = - 2$ : la méthode converge-t-elle cette fois ?

(La méthode de Newton n'est garantie que « près » d'une racine simple — d'où la prudence du cours.)

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

1. Calculer $x_{1}$ , puis $x_{2}$ . Que constate-t-on ?

Élève

Je vois la formule de Newton dans le cours, mais je ne sais pas par quoi commencer ici : il faut calculer $f^{'}$ d'abord, ou directement remplacer $x_{0}$ ?

La méthode de Newton a besoin de $f$ et de $f^{'}$ : commence par écrire l'expression de $f^{'} (x)$ pour cette fonction. Ensuite, à quoi correspond $x_{1}$ dans la formule d'itération ?

Élève

Pour $f (x) = x^{3} - 2 x + 2$ , je trouve $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ . Et $x_{1}$ , c'est $x_{0}$ moins $f (x_{0})$ divisé par $f^{'} (x_{0})$ .

C'est bien cela. Avec $x_{0} = 0$ , quelles valeurs prennent $f (0)$ et $f^{'} (0)$ ? Une fois ces deux nombres connus, quelle opération te reste-t-il à faire pour obtenir $x_{1}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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