Quand Newton échoue. On applique la méthode de Newton à f(x) = x³ - 2x…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Optimisation avancée et algorithmes

Énoncé

Quand Newton échoue. On applique la méthode de Newton à $f (x) = x^{3} - 2 x + 2$ en partant de $x_{0} = 0$ .

Calculer $x_{1}$ , puis $x_{2}$ . Que constate-t-on ?
En déduire que la suite $(x_{n})$ ne converge pas, bien que $f$ possède une racine réelle (que l'on situera entre $- 2$ et $- 1$ ).
Reprendre avec $x_{0} = - 2$ : la méthode converge-t-elle cette fois ?

(La méthode de Newton n'est garantie que « près » d'une racine simple — d'où la prudence du cours.)

Corrigé

Ici $f (x) = x^{3} - 2 x + 2$ et $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ , d'où

$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{3} - 2 x _{n} + 2}{3 x _{n}^{2} - 2} .$

1. Partant de $x_{0} = 0$ : $f (0) = 2$ et $f^{'} (0) = - 2$ , donc

$x_{1} = 0 - \frac{2}{- 2} = 1.$

Puis $f (1) = 1 - 2 + 2 = 1$ et $f^{'} (1) = 1$ , donc $x_{2} = 1 - \frac{1}{1} = 0$ . On est revenu au point de départ. 2. La suite est donc périodique : $0, 1, 0, 1, 0, \dots$ Elle ne converge pas, puisqu'elle prend indéfiniment deux valeurs distinctes. Pourtant $f (- 2) = - 8 + 4 + 2 = - 2 < 0$ et $f (- 1) = - 1 + 2 + 2 = 3 > 0$ : la fonction change de signe, et $f$ possède bien une racine réelle entre $- 2$ et $- 1$ (elle vaut environ $- 1, 769$ ). 3. Partant cette fois de $x_{0} = - 2$ :

$x_{1} = - 1, 800000; x_{2} = - 1, 769948; x_{3} = - 1, 769293; x_{4} = - 1, 769292.$

La méthode converge, et très vite : quatre itérations donnent six décimales exactes. La morale : la méthode de Newton n'est garantie qu'au voisinage d'une racine simple. Le point $x_{0} = 0$ était trop loin ; pire, il tombait sur un cycle. En pratique, on encadre d'abord la racine — par dichotomie, par exemple — avant de lancer Newton pour affiner.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.