Soient a et b deux réels. Démontrer que et préciser le cas d'égalité.

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Convexité et dérivée seconde (programme de terminale)

Énoncé

Soient $a$ et $b$ deux réels. Démontrer que

$(\frac{a + b}{2})^{2} \leq \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2},$

et préciser le cas d'égalité. (Étudier la différence, qui se factorise ; c'est un cas particulier d'inégalité de convexité, notion de terminale.)

Corrigé

Étudions la différence :

$\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} - (\frac{a + b}{2})^{2} = \frac{2 ( a ^{2} + b ^{2} ) - ( a + b ) ^{2}}{4} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - a ^{2} - 2 ab - b ^{2}}{4} = \frac{( a - b ) ^{2}}{4} .$

Un carré étant positif ou nul, cette différence est positive ou nulle, ce qui établit

$(\frac{a + b}{2})^{2} \leq \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} .$

L'égalité a lieu si et seulement si $(a - b)^{2} = 0$ , c'est-à-dire $a = b$ . Contrôle : pour $a = 1$ et $b = 3$ , le membre de gauche vaut $4$ et celui de droite $5$ . ✓ Lecture en termes de convexité : l'inégalité dit que la valeur de $x \mapsto x^{2}$ au milieu de $[a; b]$ est inférieure à la moyenne des valeurs aux extrémités — autrement dit que la corde est au-dessus de la courbe. C'est la définition même de la convexité, ici démontrée sur le cas particulier du carré.

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