mathématiques (première) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Soit la fonction définie sur par

Variations et courbes représentatives des fonctions · Variations et extremums · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

Calculer $f^{'} (x)$ et factoriser son numérateur.
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $R$ .
En déduire que pour tout réel $x$ , $- \frac{1}{2} \leq f (x) \leq \frac{1}{2}$ .
Retrouver l'inégalité $f (x) \leq \frac{1}{2}$ par un calcul algébrique direct.

Corrigé de la question 1

1. Quotient, avec $u = x$ , $u^{'} = 1$ , $v = x^{2} + 1$ , $v^{'} = 2 x$ :

$f^{'} (x) = \frac{1 \times ( x ^{2} + 1 ) - x \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{( 1 - x ) ( 1 + x )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $R$ .

Élève

Pour le tableau de variations, je dois étudier le signe de $f^{'} (x)$ , c'est bien ça ?

Oui, c'est la démarche. Tu as déjà $f^{'} (x) = \frac{( 1 - x ) ( 1 + x )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ : quel est le signe du dénominateur, et qu'est-ce que cela t'apprend sur le signe de $f^{'}$ ?

Élève

Le dénominateur $(x^{2} + 1)^{2}$ est toujours strictement positif, donc $f^{'}$ a le même signe que le numérateur $(1 - x) (1 + x)$ . Mais je ne sais pas trop comment déterminer ce signe.

Tu peux voir $(1 - x) (1 + x)$ comme un produit de deux facteurs du premier degré. Quelles sont les valeurs de $x$ qui annulent chacun des facteurs, et quel est alors le signe du produit de part et d'autre de ces valeurs ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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