mathématiques (première) · Chapitre 5 · Exercice supplémentaire

Soit n un entier, n ≥ 2. Démontrer que pour tout x ≥ 0 : (Étudier d(x)…

Variations et courbes représentatives des fonctions · Inégalités classiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $n$ un entier, $n \geq 2$ . Démontrer que pour tout $x \geq 0$ :

$x^{n} - n x + n - 1 \geq 0.$

(Étudier $d (x) = x^{n} - n x + n - 1$ : sa dérivée $n (x^{n - 1} - 1)$ s'annule en $1$ , où le minimum vaut… ?)

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Élève

Je ne sais pas par où commencer : l'inégalité avec $x^{n}$ et $n$ me bloque, je ne vois pas quelle méthode utiliser.

L'énoncé te souffle une piste : il parle d'étudier $d (x) = x^{n} - n x + n - 1$ . Que cherche-t-on à savoir sur cette fonction pour en déduire l'inégalité ?

Élève

Si on arrive à montrer que $d$ reste toujours positive, alors l'inégalité est vraie. Mais je ne sais pas comment étudier $d$ .

Pour étudier les variations d'une fonction dérivable, quelle est l'étape habituelle ? Et ici, quel est le paramètre de $d$ qu'il faudra garder tel quel dans les calculs ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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