Un rectangle a deux sommets sur l'axe des abscisses et les deux autres…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 5 — Variations et courbes représentatives des fonctions · Problèmes d'optimisation

Énoncé

Un rectangle a deux sommets sur l'axe des abscisses et les deux autres sur la parabole d'équation $y = 9 - x^{2}$ , symétriquement par rapport à l'axe des ordonnées.

En notant $x$ l'abscisse du sommet situé à droite, exprimer l'aire $A (x)$ du rectangle et préciser l'intervalle d'étude.
Déterminer $x$ rendant l'aire maximale, ainsi que cette aire (valeur exacte puis arrondie au centième).

Corrigé

1. Les quatre sommets sont $(\pm x; 0)$ et $(\pm x; 9 - x^{2})$ . La largeur du rectangle vaut $2 x$ et sa hauteur $9 - x^{2}$ , d'où

$A (x) = 2 x (9 - x^{2}) = 18 x - 2 x^{3}, x \in] 0; 3 [.$

L'intervalle est imposé par la géométrie : il faut $x > 0$ (rectangle non aplati) et $9 - x^{2} > 0$ , soit $x < 3$ . 2. $A^{'} (x) = 18 - 6 x^{2} = 6 (3 - x^{2})$ , positive pour $x < 3$ et négative pour $x > 3$ sur l'intervalle d'étude. L'aire est donc maximale en $x = 3$ , et vaut

$A (3) = 23 (9 - 3) = 123 \approx 20, 78.$

Contrôle : $A (1, 7) \approx 20, 77$ et $A (1, 8) \approx 20, 74$ , tous deux inférieurs à $123$ . ✓ Erreur attendue : prendre $x$ pour la largeur entière du rectangle. Ici $x$ est une abscisse, la largeur vaut $2 x$ — l'oubli du facteur $2$ ne change pas l'abscisse optimale, mais fausse l'aire.

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