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Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Croissance comparée et modèles continus

Énoncé

À la calculatrice, compléter un tableau des valeurs de $\frac{e ^{x}}{x}$ et de $x e^{- x}$ pour $x = 5$ , $10$ , $20$ et $50$ . Que conjecturer quand $x$ devient grand ? (On démontre en terminale que l'exponentielle « l'emporte » sur toute puissance de $x$ : c'est la croissance comparée.)

Corrigé

$x \frac{e ^{x}}{x} x e^{- x} 5 \approx 29, 7 \approx 3, 4 \times 1 0^{- 2} 10 \approx 2, 20 \times 1 0^{3} \approx 4, 5 \times 1 0^{- 4} 20 \approx 2, 43 \times 1 0^{7} \approx 4, 1 \times 1 0^{- 8} 50 \approx 1, 04 \times 1 0^{20} \approx 9, 6 \times 1 0^{- 21}$

Conjecture. Quand $x$ devient grand, $\frac{e ^{x}}{x}$ devient aussi grand que l'on veut, tandis que $x e^{- x}$ se rapproche de $0$ . Autrement dit, $e^{x}$ croît beaucoup plus vite que $x$ : la division par $x$ ne suffit pas à freiner l'exponentielle.

Contrôle de cohérence : les deux lignes se répondent, car $x e^{- x} = \frac{1}{e ^{x} / x}$ — l'une est l'inverse de l'autre, et les valeurs le confirment.

Prolongement : c'est le théorème de croissance comparée de terminale : pour tout entier $n$ , $\frac{e ^{x}}{x ^{n}} \to + \infty$ et $x^{n} e^{- x} \to 0$ quand $x \to + \infty$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.