Déduire de l'inégalité (banque précédente) que pour tout

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Croissance comparée et modèles continus

Énoncé

Déduire de l'inégalité $e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ (banque précédente) que pour tout $x > 0$ :

$\frac{e ^{x}}{x} \geq \frac{x}{2} .$

Qu'en conclure sur la croissance de l'exponentielle comparée à celle d'une droite ?

Corrigé

Soit $x > 0$ . Les trois termes $1$ , $x$ et $\frac{x ^{2}}{2}$ sont positifs ; en ne conservant que le dernier dans l'inégalité $e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ , on obtient a fortiori

$e^{x} \geq \frac{x ^{2}}{2} .$

En divisant par $x > 0$ (ce qui préserve le sens de l'inégalité) :

$\frac{e ^{x}}{x} \geq \frac{x}{2} . □$

Conclusion. Le quotient $\frac{e ^{x}}{x}$ est minoré par la demi-droite $\frac{x}{2}$ , qui devient aussi grande que l'on veut : $\frac{e ^{x}}{x}$ aussi. L'exponentielle ne se contente donc pas de dépasser toute fonction affine — elle la dépasse d'un facteur qui lui-même tend vers l'infini.

Contrôle : en $x = 10$ , le minorant vaut $5$ et le quotient réel vaut $\approx 2203$ : l'inégalité est vraie, et très large — elle suffit pourtant à conclure.

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