mathématiques (première) · Chapitre 6 · Exercice supplémentaire

Démontrer, par récurrence sur, que pour tout entier et tout

Fonction exponentielle · Équations fonctionnelles et caractérisation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Démontrer, par récurrence sur $n$ , que pour tout entier $n \geq 0$ et tout $x \geq 0$ :

$e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} .$

(Le passage de $n$ à $n + 1$ se fait en étudiant la différence des deux membres : sa dérivée est justement l'inégalité au rang $n$ . Le raisonnement par récurrence est un outil de terminale.)

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