Démontrer, par récurrence sur, que pour tout entier et tout

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Équations fonctionnelles et caractérisation

Énoncé

Démontrer, par récurrence sur $n$ , que pour tout entier $n \geq 0$ et tout $x \geq 0$ :

$e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} .$

(Le passage de $n$ à $n + 1$ se fait en étudiant la différence des deux membres : sa dérivée est justement l'inégalité au rang $n$ . Le raisonnement par récurrence est un outil de terminale.)

Corrigé

Notons $P (n)$ la propriété : « pour tout $x \geq 0$ , $e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !}$ ».

Initialisation. $P (0)$ affirme $e^{x} \geq 1$ pour $x \geq 0$ : vrai, car $exp$ est croissante et $e^{0} = 1$ .

Hérédité. Supposons $P (n)$ vraie et posons, pour $x \geq 0$ ,

$d (x) = e^{x} - k = 0 \sum n + 1 \frac{x ^{k}}{k !} .$

Alors $d (0) = 1 - 1 = 0$ (seul le terme $k = 0$ survit en $x = 0$ ) et, en dérivant terme à terme — la dérivée de $\frac{x ^{k}}{k !}$ est $\frac{k x ^{k - 1}}{k !} = \frac{x ^{k - 1}}{( k - 1 )!}$ —

$d^{'} (x) = e^{x} - k = 1 \sum n + 1 \frac{x ^{k - 1}}{( k - 1 )!} = e^{x} - j = 0 \sum n \frac{x ^{j}}{j !} \geq 0$

par hypothèse de récurrence $P (n)$ . Donc $d$ est croissante sur $[0; + \infty [$ et $d (x) \geq d (0) = 0$ : $P (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. $P (n)$ est vraie pour tout entier $n \geq 0$ . $□$

Prolongement : on vient de minorer l'exponentielle par les sommes partielles de sa série, $e^{x} = \sum_{k \geq 0} \frac{x ^{k}}{k !}$ — formule que l'on rencontre en études supérieures.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.