Démontrer que pour tout

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Étudier une fonction

Énoncé

Démontrer que pour tout $x \geq 0$ : $e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ . (Étudier $d (x) = e^{x} - 1 - x - \frac{x ^{2}}{2}$ : sa dérivée se contrôle grâce à l'inégalité $e^{x} \geq 1 + x$ démontrée en TD.)

Corrigé

Posons $d (x) = e^{x} - 1 - x - \frac{x ^{2}}{2}$ , définie et dérivable sur $R$ . Alors

$d^{'} (x) = e^{x} - 1 - x .$

L'inégalité $e^{x} \geq 1 + x$ , démontrée en TD, dit exactement que $d^{'} (x) \geq 0$ pour tout réel $x$ : la fonction $d$ est croissante sur $R$ , en particulier sur $[0; + \infty [$ .

Or $d (0) = 1 - 1 - 0 - 0 = 0$ . Donc pour tout $x \geq 0$ : $d (x) \geq d (0) = 0$ , c'est-à-dire

$e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} . □$

Contrôle : en $x = 1$ , le membre de droite vaut $2, 5$ et $e \approx 2, 718$ . ✓

Ce qu'il faut retenir : l'inégalité de degré $1$ sert à établir celle de degré $2$ — le procédé se répète (voir la banque suivante).

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.