Démontrer que pour tout réel

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Calculer et résoudre

Énoncé

Démontrer que pour tout réel $x$ : $(e^{x} - e^{- x})^{2} + 4 = (e^{x} + e^{- x})^{2}$ . (Développer séparément les deux membres.)

Développons chaque membre en utilisant $e^{x} e^{- x} = 1$ :

$(e^{x} - e^{- x})^{2} + 4 = e^{2 x} - 2 e^{x} e^{- x} + e^{- 2 x} + 4 = e^{2 x} + e^{- 2 x} + 2,$

$(e^{x} + e^{- x})^{2} = e^{2 x} + 2 e^{x} e^{- x} + e^{- 2 x} = e^{2 x} + e^{- 2 x} + 2.$

Les deux membres sont égaux pour tout réel $x$ . $□$

Autre lecture : c'est l'identité $(A + B)^{2} - (A - B)^{2} = 4 A B$ avec $A = e^{x}$ et $B = e^{- x}$ , où $4 A B = 4$ .

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.