Déterminer toutes les fonctions dérivables sur telles que

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Équations fonctionnelles et caractérisation

Énoncé

Déterminer toutes les fonctions $f$ dérivables sur $R$ telles que $f^{'} = 2 f$ . (Même méthode, avec $g (x) = f (x) e^{- 2 x}$ . C'est la résolution de l'équation différentielle $y^{'} = 2 y$ , au programme de terminale.)

Corrigé

Même méthode, avec $g (x) = f (x) e^{- 2 x}$ :

$g^{'} (x) = f^{'} (x) e^{- 2 x} - 2 f (x) e^{- 2 x} = (f^{'} (x) - 2 f (x)) e^{- 2 x} = 0.$

Donc $g$ est constante sur $R$ : il existe un réel $C$ tel que $f (x) e^{- 2 x} = C$ , c'est-à-dire

$f (x) = C e^{2 x} .$

Réciproquement, toute fonction de cette forme convient : $(C e^{2 x})^{'} = 2 C e^{2 x} = 2 f (x)$ . Les solutions de $y^{'} = 2 y$ sont donc exactement les fonctions $x \mapsto C e^{2 x}$ , $C \in R$ .

Prolongement : c'est le premier théorème du chapitre « équations différentielles » de terminale, sous la forme générale $y^{'} = a y ⟺ y = C e^{a x}$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.