La population d'une ville est modélisée par N(t) = 500 e^0,04t (en…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 6 — Fonction exponentielle · Modéliser une évolution

Énoncé

La population d'une ville est modélisée par $N (t) = 500 e^{0, 04 t}$ (en milliers d'habitants, $t$ en années depuis 2020).

Donner la population initiale et justifier que $N$ est croissante.
Estimer la population en 2045 (on donne $e \approx 2, 718$ ).
Au bout de combien d'années la population double-t-elle ? (On donne $e^{0, 693} \approx 2$ .)

Corrigé

1. $N (0) = 500 e^{0} = 500$ : la ville comptait $500$ milliers d'habitants, soit $500000$ , en 2020. De plus $N^{'} (t) = 500 \times 0, 04 e^{0, 04 t} = 20 e^{0, 04 t} > 0$ : $N$ est strictement croissante.

2. 2045 correspond à $t = 25$ , donc $N (25) = 500 e^{0, 04 \times 25} = 500 e \approx 500 \times 2, 718 \approx 1359$ milliers, soit environ $1, 36$ million d'habitants.

3. La population double lorsque $e^{0, 04 t} = 2$ . Avec $e^{0, 693} \approx 2$ et la stricte croissance de l'exponentielle : $0, 04 t \approx 0, 693$ , soit

$t \approx \frac{0 , 693}{0 , 04} \approx 17, 3 ans .$

Contrôle : le doublement ne dépend pas de la date de départ ; de 2020 à 2045 s'écoulent $25$ ans, soit un peu plus d'un doublement — et l'on a bien trouvé $1359 > 2 \times 500$ . ✓

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