mathématiques (première) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Montrer que pour tout réel

Fonction exponentielle · Étude de fonctions à exponentielle · niveau 2

Énoncé

Montrer que pour tout réel $x$ : $e^{x} \geq 1 + x$ . Indication : étudier $d (x) = e^{x} - x - 1$ .

Corrigé

$d^{'} (x) = e^{x} - 1$ , du signe de $x$ (stricte croissance de $exp$ et $e^{0} = 1$ ) : $d$ décroît sur $] - \infty; 0]$ , croît ensuite. Minimum $d (0) = 0$ , donc $d (x) \geq 0$ pour tout $x$ : la courbe de l'exponentielle est toujours au-dessus de sa tangente en $0$ (figure du cours), avec égalité seulement en $0$ .

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