n° 6

1. Dérivée d'un produit : $f^{\prime }(x)=2x{\mathrm{e}}^x+\left(x^2-3\right){\mathrm{e}}^x=\left(x^2+2x-3\right){\mathrm{e}}^x$. Le trinôme a pour racines $-3$ et $1$ (somme $-2$, produit $-3$), donc

$$f^{\prime }(x)=(x+3)(x-1){\mathrm{e}}^x.$$

2. Comme ${\mathrm{e}}^x>0$, le signe de $f^{\prime }$ est celui de $(x+3)(x-1)$ : positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. Ainsi $f$ croît sur $\left]-\infty ;-3\right]$, décroît sur $\left[-3;1\right]$, puis croît sur $\left[1;+\infty \right[$.

3. Maximum local $f(-3)=6{\mathrm{e}}^{-3}\approx 0,30$ ; minimum local $f(1)=-2\mathrm{e}\approx -5,44$.

4. L'exponentielle étant strictement positive, $f(x)$ est du signe de $x^2-3$ : positif sur $\left]-\infty ;-\sqrt{3}\right[$ et sur $\left]\sqrt{3};+\infty \right[$, négatif entre $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$, nul en $\pm \sqrt{3}$.

Contrôle : $-\sqrt{3}\approx -1,73$ et $\sqrt{3}\approx 1,73$ encadrent bien le minimum $x=1$, où $f$ est négative : les deux lectures concordent.