mathématiques (première) · Chapitre 6 · Exercice de TD

n° 6

Fonction exponentielle · Étude de fonctions à exponentielle · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$ , définie sur $R$ .

Calculer $f^{'} (x)$ et le factoriser.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Donner les valeurs exactes puis approchées des deux extremums locaux.
Déterminer le signe de $f$ .

Corrigé de la question 1

1. Dérivée d'un produit : $f^{'} (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} - 3) e^{x} = (x^{2} + 2 x - 3) e^{x}$ . Le trinôme a pour racines $- 3$ et $1$ (somme $- 2$ , produit $- 3$ ), donc

$f^{'} (x) = (x + 3) (x - 1) e^{x} .$

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Dresser le tableau de variations de $f$ .

Élève

Pour le tableau de variations, je dois regarder le signe de $f^{'} (x)$ , c'est bien ça ?

Oui. Et comme $f^{'} (x) = (x + 3) (x - 1) e^{x}$ , quel facteur te permet de dire que le signe de $f^{'}$ est celui de $(x + 3) (x - 1)$ ?

Élève

C'est $e^{x}$ ? Il est toujours strictement positif, donc il ne change pas le signe.

Exact. Maintenant, quel est le signe d'un produit de deux facteurs du premier degré à l'extérieur des racines, puis entre les racines ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →